보글보글 기하~~수냐

난 학생 때 기하가 참 어려웠다. 기하는 번뜩이는 아이디어로 풀어야 하는 것 같아서 

기하 문제를 볼 때마다 참 부담되었다. 똑똑한 친구들이 기발하게 기하 문제를 푸는 것을 보고 신기해했다.

그래서 나중에 성인이 되었을 때 혼자 따로 기하를 공부해보기도 했다. 하지만 역시나 어려웠다.

 이 책은 나에게 많은 위로가 되었다. 기하를 어려워하는 것은 당연하다고 위로해주는 듯 했다.

 

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도형에서 기하로

• 기하는 어렵다. 기하는 상상력을 지치게 한다.
• 기하는 도형뿐만 아니라 공간도 다룬다.
• 기하에서 도형은 말로 존재한다. 
• 측정과 경험으로는 참값을 구할 수 없다. 그래서 연역적 추론이 필요하다.
• 명확한 정의-공리-정리, 증명이 없는 공리: 너무나 당연하니까
• 좌표는 수식을 도형으로, 도형을 수식으로 바꿔주었다. 도형이 수가 되었다.
• 공간의 모양에 따라 평행선의 개수가 달라졌다. 비유클리드기하
• 공간의 휘어진 정도, 곡률 0: 유클리드기하, 0보다 큼: 타원기하, 0보다 작음: 쌍곡기하
• 공간도 모양을 갖는다. 피타고라스 정리로 판단

기하가 어려운 이유

• 기하는 해법의 유형이 정해져 있지 않아서 어렵다. 방정식과 다르다.
• 증명은 뇌에게 자연스럽지 않다. 힘을 들여야 증명할 수 있다. 그래서 힘들다.

증명 방법

• 증명하려면 다른 근거가 필요하다. 그런데 거슬러올라가다 보면 결국 증명할 수 없는 근거로부터 출발해야 한다. 공리
• 공리부터 시작하면 너무 오래 걸리므로 확인된 정리로부터 시작한다.
• 수학적 귀납법도 있다. n=1, n=k, k+1
• 귀류법도 있다.
• 도형의 정의와 성질은 다르다.
• 변의 길이만으로 도형이 결정되는 경우는 삼각형뿐이다. 그래서 안정적이다.
• 프랙털기하, 자기닮음, 소수 차원

기하와 과학

• 기하의 추론체계가 뉴턴의 근대 과학으로 이어진다.
• 프린키피아의 세 개의 공리: 뉴턴의 운동 3법칙-관성의 법칙, 가속도의 법칙, 작용반작용의 법칙, 여기에 만유인력의 법칙을 가정하여 여러 정리를 이끌어냄.
• 특수상대성이론의 두 개의 공리: 상대성 원리, 광속일정의 원리
• 일반상대성이론은 등가의 원리를 공리에 추가
• 우주는 휘어진 기하공간

인공지능

• 컴퓨터는 무한히 많은 일을 할 수 있으나 모든 일을 해낼 수 있는 건 아니다.
• 좌표는 0과 1밖에 모르는 컴퓨터가 모양을 다룰 수 있게 해준다. 위치와 그 위치에 해당하는 정보 모두 수로 치환된다.
• 새 알고리즘이란 같은 기호들의 새로운 배열이다. 다양한 조합을 만들어내는 것이다. 

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수학 시리즈의 책마다 마무리에는 인공지능에 대한 이야기가 실려 있어서 좋은 것 같다.

수냐 작가님은 머릿말에 이 책을 쓰면서 기하를 온전히 들여다볼 수 있어서 행복했다고 말한다.

나 역시 그런 책을 쓸 수 있을까? 쓰면서 온전히 행복할 수 있는 글. 궁금하다.